Elementare Zahlentheorie: Blatt 11

Etwas verspätet ist hier meine Lösung zu Aufgabe 3:

# Laut Skript ist \\(n\\) genau dann eine Kongruenzzahl, wenn die elliptische Kurve
# \\(y^2=x(x^2-n^2)\\) eine rationale Lösung \\((x,y)\\) mit \\(y≠0\\) besitzt.
for n in [37,41,53]:
    # Erzeuge die richtige elliptische Kurve y^2=x(x^2-n^2)
    E = EllipticCurve(QQ, [0,0,0,-n^2,0])
    # und wähle einen (möglichst allgemeinen) Punkt auf dieser.
    (x,y,z) = E.an_element()
    # Überprüfen, ob der Punkt wirklich auf der Kurve liegt und nicht der
    # unendlich ferne Punkt ist.
    assert(z == 1 and y^2 == x*(x^2-n^2))

    # Berechne die Seitenlängen des Dreiecks
    a = abs(y / x)
    c = abs(2*x/a - a)
    b = sqrt(c^2 - a^2)
    # und seine Fläche
    A = a*b/2
    # Nochmal überprüfen, dass wirklich nichts schiefgegangen ist
    assert(A == n)

    # und das Ergebnis schön formatiert ausgeben lassen.
    print """Die elliptische Kurve \\({}\\) enthält den nicht-trivialen rationalen
Punkt \\({}\\). Also hat das Dreieck mit (rationalen) Seiten
\\(a={}\\), \\(b ={}\\) und \\(c={}\\)
den Flächeninhalt \\(\\frac{{ab}}2={}\\).
""".format(latex(E), latex((x,y)), latex(a), latex(b), latex(c), A)

was die folgende Ausgabe liefert:

Die elliptische Kurve \(y^2=x^{3}-1369x\) enthält den nicht-trivialen rationalen Punkt \(\left(-\frac{1764}{21025}, -\frac{32672766}{3048625}\right)\). Also hat das Dreieck mit (rationalen) Seiten \(a=\frac{777923}{6090}\), \(b =\frac{450660}{777923}\) und \(c=\frac{605170417321}{4737551070}\) den Flächeninhalt \(\frac{ab}2=37\).

Die elliptische Kurve \(y^2=x^{3}-1681x\) enthält den nicht-trivialen rationalen Punkt \(\left(-9, 120\right)\). Also hat das Dreieck mit (rationalen) Seiten \(a=\frac{40}{3}\), \(b =\frac{123}{20}\) und \(c=\frac{881}{60}\) den Flächeninhalt \(\frac{ab}2=41\).

Die elliptische Kurve \(y^2=x^{3}-2809x\) enthält den nicht-trivialen rationalen Punkt \(\left(-\frac{1158313156}{35343025}, -\frac{50101876246422}{210114283625}\right)\). Also hat das Dreieck mit (rationalen) Seiten \(a=\frac{1472112483}{202332130}\), \(b =\frac{21447205780}{1472112483}\) und \(c=\frac{4850493897329785961}{297855654284978790}\) den Flächeninhalt \(\frac{ab}2=53\).

In Anbetracht dieser Seitenlängen verwundert es nicht, dass die Suche beim letzten Blatt zwar \(41\), aber weder \(37\), noch \(53\) als Kongruenzzahl gefunden hat.